Wartość bezwzględna z jakiejś liczby, to ta sama liczba tylko, że dodatnia. Jak mamy minus przed liczbą i bierzemy z niej wartość bezwzględną to po prostu “kasujemy” tego minusa. Wartość bezwzględna to również odległość danej liczby od zera, a jak wiadomo, odległość nie może być ujemna 😉
Proste przykłady:
|1| = 1
|0| = 0
|1+ 1,1| = 1 + 1,1 = 2,1
|-1| = -( -1) = 1
|-3| = -( -3) = 3
Wartość bezwzględna – jak to zapisywać i liczyć
Wartość bezwzględna z liczby x:
jeżeli x ≥ 0 , to jest to ta sama liczba
jeżeli x < 0 , to jesto to -x
ⅼxⅼ jest liczbą nieujemną
Jak opuścić moduł?
Opuszczanie wartości bezwzględnej:
Przykład 1:
∣x – 1∣
krok pierwszy
krok następny
krok trzeci
Rozważamy 2 przypadki przy opuszczaniu modułu:
↳ dla x, których wyrażenie jest nieujemne – nie zmieniamy znaków
↳ dla x, których wyrażenie jest ujemne – zmieniamy znaki
Wykres funkcji wartości bezwzględnej
wykres sam z siebie nie będzie miał y<0
Podsumowanie
Wartość bezwzględna to odległość danej liczby od zera
nie może być ujemna
jeżeli x ≥ 0 , to jest to ta sama liczba
jeżeli x < 0 , to jesto to -x
Rozważamy 2 przypadki przy opuszczaniu modułu
Zawsze przed opuszczeniem wartości bezwzględnej musimy ustalić, czy liczba pod nią jest nieujemna, czy ujemna.
Na pewno w przeszłości spotkałeś się z kwantyfikatorami. Występują one bardzo często w mowie potocznej. Zobacz sam czym różnią się kwantyfikatory matematyczne od tych używanych na co dzień. Przekonaj się jak często ktoś popełnia błąd!
↳ Kwantyfikator ogólny
∀ lub ⋀ (czytamy “dla każdego”)
↳ Kwantyfikator szczegółowy
∃ lub ⋁ (czytamy “istnieje takie”)
W przypadku każdego kwantyfikatora, umieszczamy pod nim parametr.
Kwantyfikatory matematyczne – jak je odczytywać?
Odczytywanie kwantyfikatorów to nic trudnego. Jak raz się nauczysz zapamiętasz to na bardzo długo. Chętnie Ci z tym pomogę. Sprawdź sam czy nie masz braków!
Przykład 1:
→ “dla każdego x należącego do zbioru liczb całkowitych”
→ “dla każdego y należącego do zbioru liczb naturalnych”
→ “dla każdego z mniejszego od zera”
→ “dla każdego k należącego do zbioru liczb naturalnych i większego od pięciu”
→ “istnieje takie s należącego do przedziału (-5, 5)”
→ “istnieje takie t , mniejsze od jeden”
Przykład 2:
→ “istnieje taki x , należący do zbioru liczb naturalnych, który jest większy od 5″ (→ to zdanie jest oczywiście prawdziwe)
→ “dla każdego x należącego do zbioru liczb naturalnych, wyrażenie x + 1 jest większe od zera” (→ to zdanie jest znowu prawdziwe)
→ “dla każdego x należącego do zbioru liczb rzeczywistych, wyrażenie x³ + 1 jest większe od zera”
sprawdźmy prawdziwość tego zdania ↴
podstawiamy pod x np. (-1)
(-1)³ + 1 > 0
-1 +1 > 0
0 > 0 sprzeczność ↯
(↯ – znak sprzeczności)
zdanie jest fałszywe
→ “istnieje taki x należący do zbioru liczb rzeczywistych, dla którego nierówność x³ + 1 jest większa od zera”
sprawdźmy prawdziwość tego zdania ↴
podstawiamy pod x np. (2)
(2)³ + 1 > 0
8 +1 > 0
9 > 0
zdanie jest prawdziwe
Jak sprawnie szukać rozwiązań?
Dla kwantyfikatora ogólnego ∀ (“dla każdego x“) wystarczy znaleźć 1 błędne rozwiązanie i całe równanie jest sprzeczne.
Dla kwantyfikatora szczegółowego ∃ (“istnieje taki x“) wystarczy znaleźć 1 poprawne rozwiązanie i całe równanie jest prawdziwe.
Przykład 3:
“dla każdego x należącego do zbioru liczb całkowitych i istnieje taki y należący do zbioru liczb całkowitych , że nierówność x²+y² jest większa od zera”
sprawdźmy prawdziwość tego zdania ↴
x² jest zawsze większe od zera ✔
y² jest zawsze większe od zera ✔
zdanie jest prawdziwe
Kwantyfikatory matematyczne – PODSUMOWANIE
Kwantyfikator ogólny ∀ lub ⋀ (czytamy “dla każdego”)
Kwantyfikator szczegółowy ∃ lub ⋁ (czytamy “istnieje takie”)
W przypadku każdego kwantyfikatora, umieszczamy pod nim parametr.
Dla kwantyfikatora ogólnego ∀ (“dla każdego x“) wystarczy znaleźć 1 błędne rozwiązanie i całe równanie jest sprzeczne.
Dla kwantyfikatora szczegółowego ∃ (“istnieje taki x“) wystarczy znaleźć 1 poprawne rozwiązanie i całe równanie jest prawdziwe.
Czy logika to to samo co myślenie logiczne? Chcesz wygrywać gry słowne metodą zero-jedynkową? [SPRAWDŹ JAK]
Logika – dział matematyki który przyda Ci się w przyszłości. Jest to nieodłączny element programowania. Dzięki temu artykułowi o logice lepiej zrozumiesz istotę sprawy. Nie będziesz borykać się z tym problemem. Warto się jej nauczyć. Zaczynamy!
Logika – wprowadzenie
Zdanie matematycznie logiczne to takie zdanie, któremu można przypisać prawdę lub fałsz.
Prawdę identyfikujemy z cyfrą 1
Fałsz identyfikujemy z cyfrą 0
Logika – zdania proste
ZDANIA PROSTE
“Wszystkie gady mają nogi” → jest fałszywe (wartość logiczna = 0)
“Człowiek to ssak” → jest prawdziwe (wartość logiczna = 1)
“Powietrze atmosferyczne składa się w większości z azotu” → jest prawdziwe (wartość logiczna = 1)
“Powietrze atmosferyczne składa się w większości z tlenu” → jest fałszywe (wartość logiczna = 0)
↓
Te zdania to zdania logicznie proste, oznaczamy je małymi literami p, q, r …
Zdania złożone zawierają spójniki, np. “i”.
Logika – zdania złożone
ZDANIA ZŁOŻONE
Przykład 2:
“Wieloryby to ryby i rekiny to ryby” → jest fałszywe (wartość logiczna = 0)
“Wieloryby to ssaki i delfiny to ssaki” → jest prawdziwe (wartość logiczna = 1)
Czas pretérito indefinido to czas przeszły dokonany w języku hiszpańskim. Warto żebyście go znali, jeśli chcecie opowiedzieć o tym co się stało w przeszłości. Jest to odpowiednik czasu past simple w języku angielskim (tutaj może być odnośnik do artykułu o past simple).
Pretérito indefinido – kiedy się go wykorzystuje
Taki czas można wykorzystać kiedy chce się mówić o zdarzeniach z przeszłości, które już się skończyły i nie mają żadnej kontunuacji.
Juan y Maria trabajaron en Roma con coche. - Juan i Maria podrużowali do Rzymu samochodem.
czynności, która nastąpiła tylko raz i nigdy już się nie powtórzyła
Pablo diste el presento tu el amigo. - Pablo dał prezent swojemu koledze.
Odmiana czasowników regularnych
Poniżej przedstawiam typową odmianę czasowników w czasie pretérito indefinido. Dotyczy to tylko czasowników regularnych. Listę i odmianę najważniejszych czasowników nieregularnych znajdziesz w rozdziale niżej.
-ar
-er
-ir
Yo
-é
-í
-í
Tu
-aste
-iste
-iste
El/ella/usted
-ó
-ió
-ió
Nosotros
-amos
-imos
-imos
Vosotros
-asteis
-isteis
-isteis
Ellos/ustedes
-aron
-ieron
-ieron
W tabelce powyżej są pokazane jedynie końcówki. Teraz przedstawię użycie odmiany na wybranych czasownikach regularnych:
DLA KOŃCÓWEK -AR
TRABAJAR
YO
trabajé
Tú
trabajaste
EL/ELLA
trabajó
NOSOTROS
trabajamos
VOSOTROS
tarbajasteis
ELLOS/ELLAS
trabajaron
DLA KOŃCÓWEK -ER
COMER
YO
comí
TU
comiste
EL/ELLA
comió
NOSOTROS
comimos
VOSOTROS
comisteis
ELLOS/ELLAS
comieron
DLA KOŃCÓWEK -IR
VIVIR
YO
viví
TU
viviste
EL/ELLA/USTED
vivió
NOSOTROS/AS
vivimos
VOSOTROS/AS
vivisteis
ELLOS/ELLAS/USTEDES
vivieron
Czasowniki nieregularne
Poznałeś już regularną odmianę czasowników. Super! Ale co, jeśli jakiś czasownik nie domienia się tak jak powyżej? Jak się odmienia w takim razie? Poniżej podaję Ci parę przykładów czasowników, które możesz wykorzystać w swojej pracy czy wypowiedzi. Warto się z nimi zapoznać jeśli nie chce się robić niepotrzebych błędów!
IR oraz SER
Zacznijmy od interesującego i mogącego sprawiać problemy przypadku. Oba te czasowniki są bardzo ciekawe, a w tekście mogą być mylące. Mimo że mają dwa różne znaczenia, to w czasie pretetiro indefinido ich odmiana jest dokładnie taka sama.
YO
fui
TU
fuiste
EL/ELLA/USTED
fue
NOSOTROS/AS
fuimos
VOSOTROS/AS
fuisteis
ELLOS/ELLAS/USTEDES
fueron
Poniżej znajdziecie też inne czasowniki, które mogą być przydatne, a nie mają regularnej formy odmiany. Warto się z nimi zapoznać aby ułatwić sobie pisanie tekstów.
dar – dawać
di
diste
dio
dimos
disteis
dieron
hacer – robić
hice
hiciste
hizo
hicimos
hicisteis
estar – znajdować się
estuve
estuviste
estuvo
estuvimos
estuvisteis
estuvieron
poder – móc/ być w stanie
pude
pudiste
pudo
pudioms
pudisteis
pudieron
poner – umieszczać
puse
pusiste
puso
pusimos
pusisteis
pusieron
decir – mówić
dije
dijiste
dijo
dijimos
dijisteis
dijeron
jugar – grać
jugué
jugaste
jugó
jugamos
jugasteis
jugaron
venir – przychodzić
vine
viniste
vino
vinimos
vinisteis
vinieron
Typowe słówka dla czasu pretérito indefinido
Jak rozpoznać nasz czas w tekście? Skąd wiemy gdzie go szukać? Pomóc Ci mogą podane poniżej słówka. Są one typowymi zwortami wykorzystywanymi w tym czasie.
ayer – wczoraj
la semana pasada – w zeszłym tygodniu
entonces – wtedy
hace una semana – tydzień temu
hace mucho tiempo – dawno temu
el 14 de marzo – 14 marca
el otro dia – innego dnia
aquel dia – tamtego dnia
Przykładowe teksty z użyciem tego czasu
Biografia
Przypatrz się tekstowi zaczerpniętemu ze znanej hiszpańskiej gazety. Widzisz czasowniki w preterito indefinido? Jesteś w stanie je wychaczyć? Postaraj się je policzyć i przetłumaczyć.
La vida y obra de Van Gogh vuelven a sorprender. El pintor trabajó en su último cuadro dos días antes de morir, a los 37 años, el 29 de julio de 1890. Titulado Raíces de árboles, recoge lo que había en una vuelta del camino que llevaba a la posada Auberge Ravoux, que alquiló en Auvers-sur-Oise, al norte de París. Wouter van der Veen, director científico del Instituto Van Gogh, abierto en la propia localidad francesa, ha descubierto ahora el lugar preciso del conjunto al revisar unas postales de la época, y asegura que Van Gogh no abrazó la abstracción en el lienzo.
La vida y obra de Van Gogh vuelven a sorprender. El pintor trabajó en su último cuadro dos días antes de morir, a los 37 años, el 29 de julio de 1890. Titulado Raíces de árboles, recoge lo que había en una vuelta del camino que llevaba a la posada Auberge Ravoux, que alquiló en Auvers-sur-Oise, al norte de París. Wouter van der Veen, director científico del Instituto Van Gogh, abierto en la propia localidad francesa, ha descubierto ahora el lugar preciso del conjunto al revisar unas postales de la época, y asegura que Van Gogh no abrazó la abstracción en el lienzo.
Jest to jedna z możiwości wykorzystania tego czasu. Jak widzisz jest on powszechnie używany w języku hiszpańskim. Teraz jesteś już w stanie napisać swoją własną biografię.
A co jeśli chcesz opisać coś co prztyrafiło ci się w wakacje? Jakąś niesamowitą historię zapierającą dech w piersiach. Spójrz teraz na ten przykład w którym nauczysz się jak to zrobić:
Opis niezapomnianych wakacji
Zawsze warto napisać swoją pracę na początku w języku Polskim, ale zwracając uwagę na czasowniki które wykorzystujemy.
TEKST (trochę zmieniony, ale ten z egzaminu)
A co tobie przytrafiło się w te wakacje? Napisz swojąporywającą historię aby utrwalić sobie informacje!
Zbiory w matematyce to tak naprawdę liczby. Mając na myśli “zbiór” zazwyczaj mówimy o przedziale liczb, lub punktach. Chcesz się dowiedzieć jak rozwiązywać działania na zbiorach? Ten artykuł jest dla Ciebie.
Gdy chcemy zaznaczyć na osi wyłącznie liczby, zaznaczamy jedynie punkty.
Przykład 1:
Zbiór ① = {0, 1, 4, 7}
Aby to rozwiązać
najpierw odczytujemy wszystkie liczby,
ustalamy ich kolejność
rysujemy oś liczbową
zaznaczamy jako punkty wszystkie liczby
Przedział liczb zaznaczamy w sposób jak poniżej:
Przykład 1:
Zbiór ② = (-5, 3) → zawsze zwracaj uwagę na nawiasy z obu stron
( ) – nawiasy okrągłe, tzw. otwarte. Oznaczają to, że liczba przy nich nie zalicza się do zbioru.
Przykład 2:
Zbiór 🤍 = (-∞, 0)
[gdy z lewej strony przedziału jest -∞ lub z prawej ∞ to nawiasy przy nieskończoności są zawsze otwarte]
< > – nawiasy kwadratowe, tzw. zamknięte. Oznaczają to, że liczba przy nich zalicza się do zbioru.
⋃ – znak sumy
Przykład 2:
Zbiór 🧸 = (-∞, -3) ⋃ (-3, 5) ⋃ <6, ∞)
Działania na zbiorach – jak je dodawać i odejmować
Czy suma zbiorów to to samo co suma liczb ? Możesz się dopatrzeć kilku różnic, zobacz czy dasz radę 🙂
SUMA ZBIORÓW
sumę zbiorów A oraz B , zapisujemy to w taki sposób:
A ⋃ B
graficznie wygląda to tak:
Oznacza to wszystkie liczby jakie te zbiory zawierają.
Przyjęło się, że zbiory oznacza się wielkimi literami
Przykład 1:
A ⋃ B
A = (3, 5>
B = (5, 6) ⋃ {1, 2}
kreślimy to na osi
A ⋃ B = {1,2} ⋃ (3, 6)
Przykład 2:
A ⋃ B
A = {-3, 3, 4}
B = {-3, 3, 5}
A ⋃ B = {-3, 3, 4, 5}
RÓŻNICA ZBIORÓW
Różnicę zbiorów A i B zapisujemy w taki sposób:
A\B
\ – “znak odejmowania”
graficznie wygląda to tak:
A \ B
↳ wszystko co zawiera zbiór B, nie będzie w zbiorze A
B \ A
↳ wszystko co zawiera zbiór A, nie będzie w zbiorze B
Przykład 1:
A = {0, 1, 3, 6}
B = {0, 2, 5, 6}
A \ B = {1, 3}
B \ A = {5, 2}
Przykład 2:
A = (-2, 2)
B= (1, 3)
A\B zaznacz oba zbiory na osi ↴
następnie z rysunku “usuń” niepotrzebną część ↴
czyli A \ B = (-2, 1>
Cyfra 1 należała do zbioru A, natomiast nie należała do zbioru B, dlatego mamy nawias zamknięty :).
B \ A
B \ A = <2, 3)
Ostatnie działanie na zbiorach, czyli iloczyn zbiorów
Iloczyn to mnożenie, ale czy istnieje coś takiego jak mnożenie zbiorów? Na palcach się tego raczej nie da obliczyć. Sprawdź czy jesteś w stanie to wykonać 😉
ILOCZYN ZBIORÓW
Iloczyn zbiorów A i B zapisujemy w taki sposób
A ⋂ B
⋂ – “znak iloczynu”
W iloczynie zbiorów, wynikiem są liczby wyłącznie należące do obu zbiorów.
Przykład 1:
A = {0, 1, 2, 4}
B = {0, 3, 5, 9, 10}
A ⋂ B = {0}
Przykład 2:
A = (-3, 6)
B = <0, 4)
kreślimy oba zbiory na osi ↴
A ⋂ B
A ⋂ B = (0, 4)
Działania na zbiorach – PODSUMOWANIE
Gdy chcesz zaznaczyć na osi wyłącznie liczby, zaznacz jedynie punkty.
Zawsze zwracaj uwagę na typ nawiasów ” ( ) { } < > “
Przy nawiasach otwartych nie zamalowujemy punktu na osi liczbowej
nawiasy kwadratowe, tzw. zamknięte. Oznaczają to, że liczba przy nich zalicza się do zbioru
Przyjęło się, że zbiory oznacza się wielkimi literami
Suma zbiorów – oznacza to wszystkie liczby jakie te zbiory zawierają.
Różnica zbiorów – wszystko co zawiera zbiór B, nie będzie w zbiorze A ( A \ B ) i na odwrót
Iloczyn zbiorów – wynikiem są liczby wyłącznie należące do obu zbiorów
