Kategorie
Bez kategorii

Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna z jakiejś liczby, to ta sama liczba tylko, że dodatnia. Jak mamy minus przed liczbą i bierzemy z niej wartość bezwzględną to po prostu “kasujemy” tego minusa. Wartość bezwzględna to również odległość danej liczby od zera, a jak wiadomo, odległość nie może być ujemna 😉

Proste przykłady:

  • |1| = 1
  • |0| = 0
  • |1+ 1,1| = 1 + 1,1 = 2,1
  • |-1| = -( -1) = 1
  • |-3| = -( -3) = 3

Wartość bezwzględna – jak to zapisywać i liczyć

Wartość bezwzględna z liczby x:

  1. jeżeli x ≥ 0 , to jest to ta sama liczba
  2. jeżeli x < 0 , to jesto to -x
wartość bezwzględna matematyka
ⅼxⅼ jest liczbą nieujemną

Jak opuścić moduł?

Opuszczanie wartości bezwzględnej:

Przykład 1:

∣x – 1∣

krok pierwszy

wartość bezwzględna opuszczanie modułów

krok następny

moduł wartość bezwzględna

krok trzeci

wartość bezwzględna moduł

Rozważamy 2 przypadki przy opuszczaniu modułu:

↳ dla x, których wyrażenie jest nieujemnenie zmieniamy znaków

↳ dla x, których wyrażenie jest ujemnezmieniamy znaki

Wykres funkcji wartości bezwzględnej

wykres sam z siebie nie będzie miał y<0

funkcja wartości bezwzględnej wykres

Podsumowanie

  • Wartość bezwzględna to odległość danej liczby od zera
  • nie może być ujemna
  • jeżeli x ≥ 0 , to jest to ta sama liczba
  • jeżeli x < 0 , to jesto to -x
  • Rozważamy 2 przypadki przy opuszczaniu modułu
  • Zawsze przed opuszczeniem wartości bezwzględnej musimy ustalić, czy liczba pod nią jest nieujemna, czy ujemna.

Kategorie
Bez kategorii

Kwantyfikatory matematyczne

Na pewno w przeszłości spotkałeś się z kwantyfikatorami. Występują one bardzo często w mowie potocznej. Zobacz sam czym różnią się kwantyfikatory matematyczne od tych używanych na co dzień. Przekonaj się jak często ktoś popełnia błąd!

↳ Kwantyfikator ogólny

lub (czytamy “dla każdego”)

↳ Kwantyfikator szczegółowy

lub (czytamy “istnieje takie”)

W przypadku każdego kwantyfikatora, umieszczamy pod nim parametr.

Kwantyfikatory matematyczne – jak je odczytywać?

Odczytywanie kwantyfikatorów to nic trudnego. Jak raz się nauczysz zapamiętasz to na bardzo długo. Chętnie Ci z tym pomogę. Sprawdź sam czy nie masz braków!

Przykład 1:

kwantyfikatory matematyka

→ “dla każdego x należącego do zbioru liczb całkowitych”


matematyczne kwantyfikatory

→ “dla każdego y należącego do zbioru liczb naturalnych”


kwantyfikator ogólny

→ “dla każdego z mniejszego od zera”


kwantyfikator ogólny 1

→ “dla każdego k należącego do zbioru liczb naturalnych i większego od pięciu”


kwantyfikator szczegółowy

→ “istnieje takie s należącego do przedziału (-5, 5)”


kwantyfikator szczegółowy matma

→ “istnieje takie t , mniejsze od jeden”


Przykład 2:

kwantyfikator szczegółowy parametr

→ “istnieje taki x , należący do zbioru liczb naturalnych, który jest większy od 5″ (→ to zdanie jest oczywiście prawdziwe)


kwantyfikator ogólny z parametrem

→ “dla każdego x należącego do zbioru liczb naturalnych, wyrażenie x + 1 jest większe od zera” (→ to zdanie jest znowu prawdziwe)


ogólny kwantyfikator parametr

→ “dla każdego x należącego do zbioru liczb rzeczywistych, wyrażenie x³ + 1 jest większe od zera”

sprawdźmy prawdziwość tego zdania

podstawiamy pod x np. (-1)

(-1)³ + 1 > 0

-1 +1 > 0

0 > 0 sprzeczność

(↯ – znak sprzeczności)

zdanie jest fałszywe


kwantyfikator szczegółowy z parametrem

→ “istnieje taki x należący do zbioru liczb rzeczywistych, dla którego nierówność x³ + 1 jest większa od zera”

sprawdźmy prawdziwość tego zdania

podstawiamy pod x np. (2)

(2)³ + 1 > 0

8 +1 > 0

9 > 0

zdanie jest prawdziwe


Jak sprawnie szukać rozwiązań?

Dla kwantyfikatora ogólnego ∀ (“dla każdego x“) wystarczy znaleźć 1 błędne rozwiązanie i całe równanie jest sprzeczne.

Dla kwantyfikatora szczegółowego ∃ (“istnieje taki x“) wystarczy znaleźć 1 poprawne rozwiązanie i całe równanie jest prawdziwe.


Przykład 3:

kwantyfikator ogólny szczegółowy parametry

“dla każdego x należącego do zbioru liczb całkowitych i istnieje taki y należący do zbioru liczb całkowitych , że nierówność x²+y² jest większa od zera”

sprawdźmy prawdziwość tego zdania

x² jest zawsze większe od zera ✔

y² jest zawsze większe od zera ✔

zdanie jest prawdziwe


Kwantyfikatory matematyczne – PODSUMOWANIE

  • Kwantyfikator ogólny lub (czytamy “dla każdego”)
  • Kwantyfikator szczegółowy lub (czytamy “istnieje takie”)
  • W przypadku każdego kwantyfikatora, umieszczamy pod nim parametr.
  • Dla kwantyfikatora ogólnego ∀ (“dla każdego x“) wystarczy znaleźć 1 błędne rozwiązanie i całe równanie jest sprzeczne.
  • Dla kwantyfikatora szczegółowego ∃ (“istnieje taki x“) wystarczy znaleźć 1 poprawne rozwiązanie i całe równanie jest prawdziwe.

Czy logika to to samo co myślenie logiczne? Chcesz wygrywać gry słowne metodą zero-jedynkową? [SPRAWDŹ JAK]

Kategorie
Bez kategorii

LOGIKA

Logika – dział matematyki który przyda Ci się w przyszłości. Jest to nieodłączny element programowania. Dzięki temu artykułowi o logice lepiej zrozumiesz istotę sprawy. Nie będziesz borykać się z tym problemem. Warto się jej nauczyć. Zaczynamy!

Logika – wprowadzenie

Zdanie matematycznie logiczne to takie zdanie, któremu można przypisać prawdę lub fałsz.

Prawdę identyfikujemy z cyfrą 1

Fałsz identyfikujemy z cyfrą 0

Logika – zdania proste

ZDANIA PROSTE

“Wszystkie gady mają nogi” → jest fałszywe (wartość logiczna = 0)

“Człowiek to ssak” → jest prawdziwe (wartość logiczna = 1)

“Powietrze atmosferyczne składa się w większości z azotu” → jest prawdziwe (wartość logiczna = 1)

“Powietrze atmosferyczne składa się w większości z tlenu” → jest fałszywe (wartość logiczna = 0)

Te zdania to zdania logicznie proste, oznaczamy je małymi literami p, q, r

Zdania złożone zawierają spójniki, np. “i”.

Logika – zdania złożone

ZDANIA ZŁOŻONE

Przykład 2:

“Wieloryby to ryby i rekiny to ryby” → jest fałszywe (wartość logiczna = 0)

“Wieloryby to ssaki i delfiny to ssaki” → jest prawdziwe (wartość logiczna = 1)

Zbiory na osi liczbowej – wejdź i zobacz jak to rozwiązywać.

Kategorie
Bez kategorii

Czas pretérito indefinido

Wstęp do czasu pretérito indefinido

Czas pretérito indefinido to czas przeszły dokonany w języku hiszpańskim. Warto żebyście go znali, jeśli chcecie opowiedzieć o tym co się stało w przeszłości. Jest to odpowiednik czasu past simple w języku angielskim (tutaj może być odnośnik do artykułu o past simple).

Pretérito indefinido – kiedy się go wykorzystuje

  • Taki czas można wykorzystać kiedy chce się mówić o zdarzeniach z przeszłości, które już się skończyły i nie mają żadnej kontunuacji.
Juan y Maria trabajaron en Roma con coche. - Juan i Maria podrużowali do Rzymu samochodem.
  • czynności, która nastąpiła tylko raz i nigdy już się nie powtórzyła
Pablo diste el presento tu el amigo. - Pablo dał prezent swojemu koledze.

Odmiana czasowników regularnych

Poniżej przedstawiam typową odmianę czasowników w czasie pretérito indefinido. Dotyczy to tylko czasowników regularnych. Listę i odmianę najważniejszych czasowników nieregularnych znajdziesz w rozdziale niżej.

 -ar-er-ir
Yo -í
Tu -aste -iste-iste
El/ella/usted -ó -ió-ió
Nosotros -amos -imos-imos
Vosotros -asteis -isteis-isteis
Ellos/ustedes -aron -ieron-ieron

W tabelce powyżej są pokazane jedynie końcówki. Teraz przedstawię użycie odmiany na wybranych czasownikach regularnych:

DLA KOŃCÓWEK -AR

TRABAJAR
YOtrabajé
trabajaste
EL/ELLAtrabajó
NOSOTROStrabajamos
VOSOTROS tarbajasteis
ELLOS/ELLAS trabajaron

DLA KOŃCÓWEK -ER

 COMER 
 YO comí
 TU comiste
 EL/ELLA comió
 NOSOTROS comimos
 VOSOTROS comisteis
 ELLOS/ELLAS comieron

DLA KOŃCÓWEK -IR

 VIVIR 
 YOviví 
 TU viviste
 EL/ELLA/USTED vivió
 NOSOTROS/AS vivimos
 VOSOTROS/AS vivisteis
 ELLOS/ELLAS/USTEDES vivieron

Czasowniki nieregularne

Poznałeś już regularną odmianę czasowników. Super! Ale co, jeśli jakiś czasownik nie domienia się tak jak powyżej? Jak się odmienia w takim razie? Poniżej podaję Ci parę przykładów czasowników, które możesz wykorzystać w swojej pracy czy wypowiedzi. Warto się z nimi zapoznać jeśli nie chce się robić niepotrzebych błędów!

IR oraz SER

Zacznijmy od interesującego i mogącego sprawiać problemy przypadku. Oba te czasowniki są bardzo ciekawe, a w tekście mogą być mylące. Mimo że mają dwa różne znaczenia, to w czasie pretetiro indefinido ich odmiana jest dokładnie taka sama.

YOfui
TUfuiste
EL/ELLA/USTEDfue
NOSOTROS/ASfuimos
VOSOTROS/ASfuisteis
ELLOS/ELLAS/USTEDESfueron

Poniżej znajdziecie też inne czasowniki, które mogą być przydatne, a nie mają regularnej formy odmiany. Warto się z nimi zapoznać aby ułatwić sobie pisanie tekstów.

dar – dawać

di

 diste

 dio 

dimos

disteis

dieron

hacer – robić

hice

hiciste

hizo

hicimos

hicisteis

estar – znajdować się

estuve

estuviste

estuvo

estuvimos

estuvisteis

estuvieron

poder – móc/ być w stanie

pude

pudiste

pudo

pudioms

pudisteis

pudieron

poner – umieszczać

puse

pusiste

puso

pusimos

pusisteis

pusieron

decir – mówić

dije

dijiste

dijo

dijimos

dijisteis

dijeron

jugar – grać

jugué

jugaste

jugó

jugamos

jugasteis

jugaron

venir – przychodzić

vine

viniste

vino

vinimos

vinisteis

vinieron

Typowe słówka dla czasu pretérito indefinido

Jak rozpoznać nasz czas w tekście? Skąd wiemy gdzie go szukać? Pomóc Ci mogą podane poniżej słówka. Są one typowymi zwortami wykorzystywanymi w tym czasie.

  • ayer – wczoraj
  • la semana pasada – w zeszłym tygodniu
  • entonces – wtedy
  • hace una semana – tydzień temu
  • hace mucho tiempo – dawno temu
  • el 14 de marzo – 14 marca
  • el otro dia – innego dnia
  • aquel dia – tamtego dnia

Przykładowe teksty z użyciem tego czasu

Biografia

Przypatrz się tekstowi zaczerpniętemu ze znanej hiszpańskiej gazety. Widzisz czasowniki w preterito indefinido? Jesteś w stanie je wychaczyć? Postaraj się je policzyć i przetłumaczyć.

La vida y obra de Van Gogh vuelven a sorprender. El pintor trabajó en su último cuadro dos días antes de morir, a los 37 años, el 29 de julio de 1890. Titulado Raíces de árboles, recoge lo que había en una vuelta del camino que llevaba a la posada Auberge Ravoux, que alquiló en Auvers-sur-Oise, al norte de París. Wouter van der Veen, director científico del Instituto Van Gogh, abierto en la propia localidad francesa, ha descubierto ahora el lugar preciso del conjunto al revisar unas postales de la época, y asegura que Van Gogh no abrazó la abstracción en el lienzo.

El país

Link do artykułu w El-Pais

Sprawdź czy znalazłeś wszystkie czasowniki:

La vida y obra de Van Gogh vuelven a sorprender. El pintor trabajó en su último cuadro dos días antes de morir, a los 37 años, el 29 de julio de 1890. Titulado Raíces de árboles, recoge lo que había en una vuelta del camino que llevaba a la posada Auberge Ravoux, que alquiló en Auvers-sur-Oise, al norte de París. Wouter van der Veen, director científico del Instituto Van Gogh, abierto en la propia localidad francesa, ha descubierto ahora el lugar preciso del conjunto al revisar unas postales de la época, y asegura que Van Gogh no abrazó la abstracción en el lienzo.

Jest to jedna z możiwości wykorzystania tego czasu. Jak widzisz jest on powszechnie używany w języku hiszpańskim. Teraz jesteś już w stanie napisać swoją własną biografię.

A co jeśli chcesz opisać coś co prztyrafiło ci się w wakacje? Jakąś niesamowitą historię zapierającą dech w piersiach. Spójrz teraz na ten przykład w którym nauczysz się jak to zrobić:

Opis niezapomnianych wakacji

Zawsze warto napisać swoją pracę na początku w języku Polskim, ale zwracając uwagę na czasowniki które wykorzystujemy.

TEKST (trochę zmieniony, ale ten z egzaminu)

A co tobie przytrafiło się w te wakacje? Napisz swojąporywającą historię aby utrwalić sobie informacje!

Moje wyjście do muzeum

Podsumowanie informacji

  • Użycia
  • Odmiana reg.
  • Odmiana niereg.
  • W jakiego typu tekstach można użyć

Kategorie
Bez kategorii

Działania na zbiorach, Zbiory na osi liczbowej

Działania na zbiorach – zaznaczanie punktów

Zbiory w matematyce to tak naprawdę liczby. Mając na myśli “zbiór” zazwyczaj mówimy o przedziale liczb, lub punktach. Chcesz się dowiedzieć jak rozwiązywać działania na zbiorach? Ten artykuł jest dla Ciebie.

Gdy chcemy zaznaczyć na osi wyłącznie liczby, zaznaczamy jedynie punkty.

Przykład 1:

Zbiór ① = {0, 1, 4, 7}

Aby to rozwiązać

  • najpierw odczytujemy wszystkie liczby,
  • ustalamy ich kolejność
  • rysujemy oś liczbową
  • zaznaczamy jako punkty wszystkie liczby

Przedział liczb zaznaczamy w sposób jak poniżej:

Przykład 1:

Zbiór ② = (-5, 3) → zawsze zwracaj uwagę na nawiasy z obu stron

Zbiór liczb przedział liczbowy oś liczbowa

( ) – nawiasy okrągłe, tzw. otwarte. Oznaczają to, że liczba przy nich nie zalicza się do zbioru.

Przykład 2:

Zbiór 🤍 = (-∞, 0)

oś liczbowa [przedział liczbowy

[gdy z lewej strony przedziału jest -∞ lub z prawej ∞ to nawiasy przy nieskończoności są zawsze otwarte]

Logika – jak zrozumieć ją na matmie [SPPRAWDŹ]

Zbiory mogą zawierać wiele przedziałów.

Przykład 1:

Zbiór 💎 = <2, 3) ⋃ {4}

< > – nawiasy kwadratowe, tzw. zamknięte. Oznaczają to, że liczba przy nich zalicza się do zbioru.

⋃ – znak sumy

suma zbiorów liczbowych oś liczbowa

Przykład 2:

Zbiór 🧸 = (-∞, -3) ⋃ (-3, 5) ⋃ <6, ∞)

suma zbiorów nieskończoność

Działania na zbiorach – jak je dodawać i odejmować

Czy suma zbiorów to to samo co suma liczb ? Możesz się dopatrzeć kilku różnic, zobacz czy dasz radę 🙂

SUMA ZBIORÓW

sumę zbiorów A oraz B , zapisujemy to w taki sposób:

A ⋃ B

graficznie wygląda to tak:

suma dwóch zbiorów grafika

Oznacza to wszystkie liczby jakie te zbiory zawierają.

Przyjęło się, że zbiory oznacza się wielkimi literami

Przykład 1:

A ⋃ B

A = (3, 5>

B = (5, 6) ⋃ {1, 2}

kreślimy to na osi

suma kilku zbiorów graficzna ilustracja

A ⋃ B = {1,2} ⋃ (3, 6)

Przykład 2:

A ⋃ B

A = {-3, 3, 4}

B = {-3, 3, 5}

liczby cyfry suma zbiorów

A ⋃ B = {-3, 3, 4, 5}

RÓŻNICA ZBIORÓW

Różnicę zbiorów A i B zapisujemy w taki sposób:

A\B

\ – “znak odejmowania”

graficznie wygląda to tak:

A \ B

różnica dwóch zbiorów liczbowych grafika

↳ wszystko co zawiera zbiór B, nie będzie w zbiorze A

B \ A

różnica zbiorów b\a grafika

↳ wszystko co zawiera zbiór A, nie będzie w zbiorze B

Przykład 1:

A = {0, 1, 3, 6}

B = {0, 2, 5, 6}

A \ B = {1, 3}

B \ A = {5, 2}

Przykład 2:

A = (-2, 2)

B= (1, 3)

A\B zaznacz oba zbiory na osi

odejmowanie zbiorów na osi liczbowej

następnie z rysunku “usuń” niepotrzebną część ↴

RÓZNICA ZBIORÓW KROK 2 OŚ LICZBOWA

czyli A \ B = (-2, 1>

Cyfra 1 należała do zbioru A, natomiast nie należała do zbioru B, dlatego mamy nawias zamknięty :).

B \ A

oś liczbowa różnica dwóch zbiorów
liczby cyfry przedziały oś liczbowa

B \ A = <2, 3)

Ostatnie działanie na zbiorach, czyli iloczyn zbiorów

Iloczyn to mnożenie, ale czy istnieje coś takiego jak mnożenie zbiorów? Na palcach się tego raczej nie da obliczyć. Sprawdź czy jesteś w stanie to wykonać 😉

ILOCZYN ZBIORÓW

Iloczyn zbiorów A i B zapisujemy w taki sposób

A ⋂ B

⋂ – “znak iloczynu”

W iloczynie zbiorów, wynikiem są liczby wyłącznie należące do obu zbiorów.

iloczyn zbiorów oś liczbowa przykład graficzny

Przykład 1:

A = {0, 1, 2, 4}

B = {0, 3, 5, 9, 10}

A ⋂ B = {0}

Przykład 2:

A = (-3, 6)

B = <0, 4)

kreślimy oba zbiory na osi ↴

A ⋂ B

iloczyn zbiorów a i b oś liczbowa

A ⋂ B = (0, 4)

Działania na zbiorach – PODSUMOWANIE

  • Gdy chcesz zaznaczyć na osi wyłącznie liczby, zaznacz jedynie punkty.
  • Zawsze zwracaj uwagę na typ nawiasów ” ( ) { } < > “
  • Przy nawiasach otwartych nie zamalowujemy punktu na osi liczbowej
  • nawiasy kwadratowe, tzw. zamknięte. Oznaczają to, że liczba przy nich zalicza się do zbioru
  • Przyjęło się, że zbiory oznacza się wielkimi literami
  • Suma zbiorów – oznacza to wszystkie liczby jakie te zbiory zawierają.
  • Różnica zbiorów – wszystko co zawiera zbiór B, nie będzie w zbiorze A ( A \ B ) i na odwrót
  • Iloczyn zbiorów – wynikiem są liczby wyłącznie należące do obu zbiorów

A może chcesz nauczyć się rysować z domu, w komfortowych warunkach? [KLIKNIJ]

Kategorie
Bez kategorii

Witaj, świecie!

Witamy w WordPressie. To jest twój pierwszy post. Edytuj go lub usuń, a następnie zacznij pisać!