Kategorie
Bez kategorii

Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna z jakiejś liczby, to ta sama liczba tylko, że dodatnia. Jak mamy minus przed liczbą i bierzemy z niej wartość bezwzględną to po prostu “kasujemy” tego minusa. Wartość bezwzględna to również odległość danej liczby od zera, a jak wiadomo, odległość nie może być ujemna 😉

Proste przykłady:

  • |1| = 1
  • |0| = 0
  • |1+ 1,1| = 1 + 1,1 = 2,1
  • |-1| = -( -1) = 1
  • |-3| = -( -3) = 3

Wartość bezwzględna – jak to zapisywać i liczyć

Wartość bezwzględna z liczby x:

  1. jeżeli x ≥ 0 , to jest to ta sama liczba
  2. jeżeli x < 0 , to jesto to -x
wartość bezwzględna matematyka
ⅼxⅼ jest liczbą nieujemną

Jak opuścić moduł?

Opuszczanie wartości bezwzględnej:

Przykład 1:

∣x – 1∣

krok pierwszy

wartość bezwzględna opuszczanie modułów

krok następny

moduł wartość bezwzględna

krok trzeci

wartość bezwzględna moduł

Rozważamy 2 przypadki przy opuszczaniu modułu:

↳ dla x, których wyrażenie jest nieujemnenie zmieniamy znaków

↳ dla x, których wyrażenie jest ujemnezmieniamy znaki

Wykres funkcji wartości bezwzględnej

wykres sam z siebie nie będzie miał y<0

funkcja wartości bezwzględnej wykres

Podsumowanie

  • Wartość bezwzględna to odległość danej liczby od zera
  • nie może być ujemna
  • jeżeli x ≥ 0 , to jest to ta sama liczba
  • jeżeli x < 0 , to jesto to -x
  • Rozważamy 2 przypadki przy opuszczaniu modułu
  • Zawsze przed opuszczeniem wartości bezwzględnej musimy ustalić, czy liczba pod nią jest nieujemna, czy ujemna.

Kategorie
Bez kategorii

Kwantyfikatory matematyczne

Na pewno w przeszłości spotkałeś się z kwantyfikatorami. Występują one bardzo często w mowie potocznej. Zobacz sam czym różnią się kwantyfikatory matematyczne od tych używanych na co dzień. Przekonaj się jak często ktoś popełnia błąd!

↳ Kwantyfikator ogólny

lub (czytamy “dla każdego”)

↳ Kwantyfikator szczegółowy

lub (czytamy “istnieje takie”)

W przypadku każdego kwantyfikatora, umieszczamy pod nim parametr.

Kwantyfikatory matematyczne – jak je odczytywać?

Odczytywanie kwantyfikatorów to nic trudnego. Jak raz się nauczysz zapamiętasz to na bardzo długo. Chętnie Ci z tym pomogę. Sprawdź sam czy nie masz braków!

Przykład 1:

kwantyfikatory matematyka

→ “dla każdego x należącego do zbioru liczb całkowitych”


matematyczne kwantyfikatory

→ “dla każdego y należącego do zbioru liczb naturalnych”


kwantyfikator ogólny

→ “dla każdego z mniejszego od zera”


kwantyfikator ogólny 1

→ “dla każdego k należącego do zbioru liczb naturalnych i większego od pięciu”


kwantyfikator szczegółowy

→ “istnieje takie s należącego do przedziału (-5, 5)”


kwantyfikator szczegółowy matma

→ “istnieje takie t , mniejsze od jeden”


Przykład 2:

kwantyfikator szczegółowy parametr

→ “istnieje taki x , należący do zbioru liczb naturalnych, który jest większy od 5″ (→ to zdanie jest oczywiście prawdziwe)


kwantyfikator ogólny z parametrem

→ “dla każdego x należącego do zbioru liczb naturalnych, wyrażenie x + 1 jest większe od zera” (→ to zdanie jest znowu prawdziwe)


ogólny kwantyfikator parametr

→ “dla każdego x należącego do zbioru liczb rzeczywistych, wyrażenie x³ + 1 jest większe od zera”

sprawdźmy prawdziwość tego zdania

podstawiamy pod x np. (-1)

(-1)³ + 1 > 0

-1 +1 > 0

0 > 0 sprzeczność

(↯ – znak sprzeczności)

zdanie jest fałszywe


kwantyfikator szczegółowy z parametrem

→ “istnieje taki x należący do zbioru liczb rzeczywistych, dla którego nierówność x³ + 1 jest większa od zera”

sprawdźmy prawdziwość tego zdania

podstawiamy pod x np. (2)

(2)³ + 1 > 0

8 +1 > 0

9 > 0

zdanie jest prawdziwe


Jak sprawnie szukać rozwiązań?

Dla kwantyfikatora ogólnego ∀ (“dla każdego x“) wystarczy znaleźć 1 błędne rozwiązanie i całe równanie jest sprzeczne.

Dla kwantyfikatora szczegółowego ∃ (“istnieje taki x“) wystarczy znaleźć 1 poprawne rozwiązanie i całe równanie jest prawdziwe.


Przykład 3:

kwantyfikator ogólny szczegółowy parametry

“dla każdego x należącego do zbioru liczb całkowitych i istnieje taki y należący do zbioru liczb całkowitych , że nierówność x²+y² jest większa od zera”

sprawdźmy prawdziwość tego zdania

x² jest zawsze większe od zera ✔

y² jest zawsze większe od zera ✔

zdanie jest prawdziwe


Kwantyfikatory matematyczne – PODSUMOWANIE

  • Kwantyfikator ogólny lub (czytamy “dla każdego”)
  • Kwantyfikator szczegółowy lub (czytamy “istnieje takie”)
  • W przypadku każdego kwantyfikatora, umieszczamy pod nim parametr.
  • Dla kwantyfikatora ogólnego ∀ (“dla każdego x“) wystarczy znaleźć 1 błędne rozwiązanie i całe równanie jest sprzeczne.
  • Dla kwantyfikatora szczegółowego ∃ (“istnieje taki x“) wystarczy znaleźć 1 poprawne rozwiązanie i całe równanie jest prawdziwe.

Czy logika to to samo co myślenie logiczne? Chcesz wygrywać gry słowne metodą zero-jedynkową? [SPRAWDŹ JAK]

Kategorie
Bez kategorii

LOGIKA

Logika – dział matematyki który przyda Ci się w przyszłości. Jest to nieodłączny element programowania. Dzięki temu artykułowi o logice lepiej zrozumiesz istotę sprawy. Nie będziesz borykać się z tym problemem. Warto się jej nauczyć. Zaczynamy!

Logika – wprowadzenie

Zdanie matematycznie logiczne to takie zdanie, któremu można przypisać prawdę lub fałsz.

Prawdę identyfikujemy z cyfrą 1

Fałsz identyfikujemy z cyfrą 0

Logika – zdania proste

ZDANIA PROSTE

“Wszystkie gady mają nogi” → jest fałszywe (wartość logiczna = 0)

“Człowiek to ssak” → jest prawdziwe (wartość logiczna = 1)

“Powietrze atmosferyczne składa się w większości z azotu” → jest prawdziwe (wartość logiczna = 1)

“Powietrze atmosferyczne składa się w większości z tlenu” → jest fałszywe (wartość logiczna = 0)

Te zdania to zdania logicznie proste, oznaczamy je małymi literami p, q, r

Zdania złożone zawierają spójniki, np. “i”.

Logika – zdania złożone

ZDANIA ZŁOŻONE

Przykład 2:

“Wieloryby to ryby i rekiny to ryby” → jest fałszywe (wartość logiczna = 0)

“Wieloryby to ssaki i delfiny to ssaki” → jest prawdziwe (wartość logiczna = 1)

Zbiory na osi liczbowej – wejdź i zobacz jak to rozwiązywać.

Kategorie
Bez kategorii

Działania na zbiorach, Zbiory na osi liczbowej

Działania na zbiorach – zaznaczanie punktów

Zbiory w matematyce to tak naprawdę liczby. Mając na myśli “zbiór” zazwyczaj mówimy o przedziale liczb, lub punktach. Chcesz się dowiedzieć jak rozwiązywać działania na zbiorach? Ten artykuł jest dla Ciebie.

Gdy chcemy zaznaczyć na osi wyłącznie liczby, zaznaczamy jedynie punkty.

Przykład 1:

Zbiór ① = {0, 1, 4, 7}

Aby to rozwiązać

  • najpierw odczytujemy wszystkie liczby,
  • ustalamy ich kolejność
  • rysujemy oś liczbową
  • zaznaczamy jako punkty wszystkie liczby

Przedział liczb zaznaczamy w sposób jak poniżej:

Przykład 1:

Zbiór ② = (-5, 3) → zawsze zwracaj uwagę na nawiasy z obu stron

Zbiór liczb przedział liczbowy oś liczbowa

( ) – nawiasy okrągłe, tzw. otwarte. Oznaczają to, że liczba przy nich nie zalicza się do zbioru.

Przykład 2:

Zbiór 🤍 = (-∞, 0)

oś liczbowa [przedział liczbowy

[gdy z lewej strony przedziału jest -∞ lub z prawej ∞ to nawiasy przy nieskończoności są zawsze otwarte]

Logika – jak zrozumieć ją na matmie [SPPRAWDŹ]

Zbiory mogą zawierać wiele przedziałów.

Przykład 1:

Zbiór 💎 = <2, 3) ⋃ {4}

< > – nawiasy kwadratowe, tzw. zamknięte. Oznaczają to, że liczba przy nich zalicza się do zbioru.

⋃ – znak sumy

suma zbiorów liczbowych oś liczbowa

Przykład 2:

Zbiór 🧸 = (-∞, -3) ⋃ (-3, 5) ⋃ <6, ∞)

suma zbiorów nieskończoność

Działania na zbiorach – jak je dodawać i odejmować

Czy suma zbiorów to to samo co suma liczb ? Możesz się dopatrzeć kilku różnic, zobacz czy dasz radę 🙂

SUMA ZBIORÓW

sumę zbiorów A oraz B , zapisujemy to w taki sposób:

A ⋃ B

graficznie wygląda to tak:

suma dwóch zbiorów grafika

Oznacza to wszystkie liczby jakie te zbiory zawierają.

Przyjęło się, że zbiory oznacza się wielkimi literami

Przykład 1:

A ⋃ B

A = (3, 5>

B = (5, 6) ⋃ {1, 2}

kreślimy to na osi

suma kilku zbiorów graficzna ilustracja

A ⋃ B = {1,2} ⋃ (3, 6)

Przykład 2:

A ⋃ B

A = {-3, 3, 4}

B = {-3, 3, 5}

liczby cyfry suma zbiorów

A ⋃ B = {-3, 3, 4, 5}

RÓŻNICA ZBIORÓW

Różnicę zbiorów A i B zapisujemy w taki sposób:

A\B

\ – “znak odejmowania”

graficznie wygląda to tak:

A \ B

różnica dwóch zbiorów liczbowych grafika

↳ wszystko co zawiera zbiór B, nie będzie w zbiorze A

B \ A

różnica zbiorów b\a grafika

↳ wszystko co zawiera zbiór A, nie będzie w zbiorze B

Przykład 1:

A = {0, 1, 3, 6}

B = {0, 2, 5, 6}

A \ B = {1, 3}

B \ A = {5, 2}

Przykład 2:

A = (-2, 2)

B= (1, 3)

A\B zaznacz oba zbiory na osi

odejmowanie zbiorów na osi liczbowej

następnie z rysunku “usuń” niepotrzebną część ↴

RÓZNICA ZBIORÓW KROK 2 OŚ LICZBOWA

czyli A \ B = (-2, 1>

Cyfra 1 należała do zbioru A, natomiast nie należała do zbioru B, dlatego mamy nawias zamknięty :).

B \ A

oś liczbowa różnica dwóch zbiorów
liczby cyfry przedziały oś liczbowa

B \ A = <2, 3)

Ostatnie działanie na zbiorach, czyli iloczyn zbiorów

Iloczyn to mnożenie, ale czy istnieje coś takiego jak mnożenie zbiorów? Na palcach się tego raczej nie da obliczyć. Sprawdź czy jesteś w stanie to wykonać 😉

ILOCZYN ZBIORÓW

Iloczyn zbiorów A i B zapisujemy w taki sposób

A ⋂ B

⋂ – “znak iloczynu”

W iloczynie zbiorów, wynikiem są liczby wyłącznie należące do obu zbiorów.

iloczyn zbiorów oś liczbowa przykład graficzny

Przykład 1:

A = {0, 1, 2, 4}

B = {0, 3, 5, 9, 10}

A ⋂ B = {0}

Przykład 2:

A = (-3, 6)

B = <0, 4)

kreślimy oba zbiory na osi ↴

A ⋂ B

iloczyn zbiorów a i b oś liczbowa

A ⋂ B = (0, 4)

Działania na zbiorach – PODSUMOWANIE

  • Gdy chcesz zaznaczyć na osi wyłącznie liczby, zaznacz jedynie punkty.
  • Zawsze zwracaj uwagę na typ nawiasów ” ( ) { } < > “
  • Przy nawiasach otwartych nie zamalowujemy punktu na osi liczbowej
  • nawiasy kwadratowe, tzw. zamknięte. Oznaczają to, że liczba przy nich zalicza się do zbioru
  • Przyjęło się, że zbiory oznacza się wielkimi literami
  • Suma zbiorów – oznacza to wszystkie liczby jakie te zbiory zawierają.
  • Różnica zbiorów – wszystko co zawiera zbiór B, nie będzie w zbiorze A ( A \ B ) i na odwrót
  • Iloczyn zbiorów – wynikiem są liczby wyłącznie należące do obu zbiorów

A może chcesz nauczyć się rysować z domu, w komfortowych warunkach? [KLIKNIJ]